В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике. Первое издание вышло в 1980 г. и давно стало библиографической редкостью. В новое издание вошла работа В.В.Козлова, посвященная исследованию уравнений Дуффинга. Содержание Некоторые используемые обозначения 8 От редакции 9 Предисловие 11 Глава I. Несуществование аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым 14 1. Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов 14 2. Пример из динамики 22 3. Несуществование частных аналитических интегралов 25 4. Приложение к динамике. Вынужденные колебания математического маятника 30 Исторический очерк 35 Глава II. Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо 37 1. Переменные действие-угол 37 2. Числа вращения и их свойства 44 3. Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо 49 4. Разложение возмущающей функции 51 Исторический очерк 53 Глава III. Неинтегрируемость задачи о вращении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 55 1. Структура векового множества 55 2. Задача о несуществовании нового аналитического интеграла 61 3. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в специальных канонических переменных 63 4. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в переменных Эйлера-Пуассона 68 Исторический очерк 72 Глава IV. Динамические эффекты, препятствующие интегрируемости уравнений движения несимметричного тела 74 1. Характеристические показатели. Теорема Пуанкаре о периодических решениях 74 2. Возмущение равномерных движений 80 3. Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо 86 4. Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости 97 5. Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо 98 6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса-Аппельрота 105 Исторический очерк 106 Глава V. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела 107 1. Теорема о несуществовании однозначных интегралов 107 2. Доказательство теоремы $1$ 111 3. Приложение к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 113 4. Доказательство теоремы 2 116 5. Приложение к вынужденным колебаниям математического маятника 120 Исторический очерк 125 Глава VI. Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела 130 1. Аналог теоремы Хопфа-Ринова 130 2. Аналог леммы Гаусса 137 3. Либрации в системах со многими степенями свободы 140 4. Приложение к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле 143 Исторический очерк 146 Глава VII. Вопросы качественного анализа движения волчка Горячева-Чаплыгина 148 1. Разделение переменных в случае Горячева-Чаплыгина 149 2. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Горячева-Чаплыгина 152 3. Задача о собственном вращении 157 4. Задача о движении линии узлов 161 5. Теорема о временных средних 167 Исторический очерк 170 Глава VIII. Финальные свойства интегралов от квазипериодических функций 172 1. Уточнение одной теоремы Боля 173 2. Теорема о возвращении 177 3. Теорема о нулях 187 4. Динамические системы с интегральным инвариантом на торе 189 5. Приложение к задаче о движении линии узлов в случае Горячева-Чаплыгина 195 Исторический очерк 197 Глава IX. Вопросы качественного анализа движения волчка Ковалевской 199